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中高生でもスッキリわかる相対性理論の数理(1) - J+(ジェープラス)‐東大阪市徳連商店街の理髪店です。

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中高生でもスッキリわかる相対性理論の数理(1)

カテゴリ: 数理科学の小道 作成日:2019年05月01日(水)

ついに始めます!

 

「相対性理論」を高校生できれば中学生にも理解してもらえる記事を連載させていただきます。相対性理論は聞いたことはあって興味はあるけど理解しづらいという中高生のみなさんのために、丁寧に解説をしていきたいなぁと思っています。

 

「相対性理論」、略して「相対論」とは、「アルベルト・アインシュタイン」というドイツ物理学者が構築した物理学の理論です。相対性理論には「特殊相対性理論」と「一般相対性理論」とがあります。

 

大胆にいえば、特殊相対論はニュートンによる古典力学と運動を考慮した電磁気学とが一致するように修正した理論、一般相対論は特殊相対論を重力のある時空間や加速する観測系のために拡張した理論です。 

 

特に一般相対論は「ブラックホール」や「ビッグバン」などの現代宇宙論につながる提言の基礎となっています。

 

 

 

 今後の連載について

今回は、ホットな話題となっている「ブラックホール」について大雑把なお話からさせてもらいます。相対性理論といえばやっぱブラックホールですよね!

 

さらに詳しい話は相対論やその数理的な基礎知識が必要になります。今後の連載を通して、中高生レベルの数学の説明と並行して、ブラックホールの背景となる相対性理論の概念を解き明かしていきたいなぁと思っています。

 

どうぞ、宜しくお願いいたしますね。

 

 

そもそもブラックホールって何?

2019年4月10日、「イベントホライズンテレスコープ」による「ブラックホール」の観測画像が公開されて感動された方も多いと思います。イベントホライズンテレスコープとは、ブラックホールを観測する国際的なプロジェクトのことです。

 

ブラックホールとは、「一般相対性理論」で予想された天体で、重力崩壊(重い天体が自身の重力により収縮する現象)によって幾何学的に計算不能になるくらい激しい時空間の歪みをつくる天体のことです。しかし、もともとこういう話は、数理的に破綻した特異的な意味にすぎず、予想された当時の物理学者のほとんどはその存在を疑っていました。

 

ところが天体観測において、その存在の間接的証拠がたくさん見つかり、ついに「直接見れた!」という成果に至ったわけです。

 

 

一般相対性理論って何?

結論から説明すると、「一般相対性理論」とはエネルギーや質量のある物体が存在すれば、その周りの時空間は歪むという理論です。

 

歪みの仕組みをアインシュタインは次のような式で表しました。

einstein eq2

これを「アインシュタインの方程式」といいます。

 

具体的な歪み具合は gνμ で表しますが、これを「計量テンソル」といいます。「計量」とは時空間の尺度という意味を含んでいます。

 

また「テンソル」とは少し構造をもった代数の仲間だと思ってください。添え字の νμ はラベルで、それぞれ 0~3 の整数をとります。計量テンソルは時空間の座標 x = (x0, x1, x2, x3) の関数なので gνμ(x) と書くこともありますが、普段は (x) を省略します。

 

ν や μ の添え字は座標に割り振られた番号のことです。特に x0 は時間座標で x0=ct すなわち時間 t に光速度 c を掛けた値を意味します。残りの x1x2, x3 は空間成分になります。ちなみに座標の関数のことを一般的に「場」といいます。

 

では、計量テンソル gνμ はどんな構造をしているかというと

metric tensor2

4×4=16 個の関数の組になっています。高校生の方は「なんだ行列じゃないか」と思われたのではないでしょうか。そうです、行列はテンソルの一種で「2階のテンソル」ともいいます。

 

Rμν、R は複雑な構造をしていますがいずれも gνμ で表せますので、左辺全体は計量テンソルで表した式になります。

 

右辺の κ (アインシュタインの重力定数)、c (光の速度)は物理定数で理科年表に載っている値です。Tνμ もテンソルの仲間で、運動量、エネルギー、質量のような力学的な物理量で構成されています。

 

アインシュタインの方程式に運動量、エネルギー、質量の分布に従って Tνμ に入力してgνμ について解くと、 Tνμ がつくる時空の歪みが求められるというわけです。アインシュタインの方程式は、gνμ という「場」を解とする方程式なので「アインシュタインの場の方程式」といういい方もします。

 

実際には、人間の手計算で解けるケースはまれで、スーパーコンピューターなどで数値計算で解くのが普通です。

 

 

アインシュタインの方程式の解としてのブラックホール

先ほど、アインシュタインの方程式を手計算で解くのはまれだといいましたが、そのまれなケースで典型的なものが「シュワルツシルトの解」です。

 

シュワルツシルトの解とは、時間に対して変化しない、そして運動量、エネルギー、質量が球対称に分布していて、解の gνμ(x) も球対称だという特殊な条件で解いたものです。つまり、重い球体の天体を考えるのに適してますよね。

 

球対称な問題を扱う場合、「極座標」という座標を使います。

Spherical

原点からの距離(これを「動径」といいます)を rx3 の座標軸との角度を θ、x1x1-x2 平面への投影との角度を φ として (r, θ, φ) を組み合わせて作った座標を極座標といいます。

 

シュワルツシルトの解の計量テンソル gνμ を極座標で表すと(解き方は後の連載で紹介します)、次式のようになります。

Schwarzschild metric

G はニュートンの万有引力定数で、M は天体の質量です。ただし天体の中心を原点とし、動径は天体の半径より大きいとします。

 

ct は時間成分の x0 のことですが、時間に対して変化しないという条件でしたから右辺の式には ct が含まれてませんね。

 

sin2θ = (sinθ)2は三角関数という関数の一種です。この関数は、下の図のように x-y 平面において動径 1 の円弧の長さが θ のとき y 軸に投影した長さが sinθx 軸に投影した長さが cosθ という関係の意味です。今回はあまり話の中心ではありませんが、今後の連載に時々出てくると思いますので覚えててください。

 

三角関数

ここから注目してもらいたいのは、g00 の ct(時間)成分と g11 の r(動径)成分です。すなわち、

 Schwarzschild metric3

です。

 

もし、動径 r を 2GM/c2 の値に近づけると、g00 は 0 に、 g11 は ∞ (無限大)に近づきます。こういう半径 2GM/c2 の特異的な球面では、時間尺度が限りなく伸びて、空間尺度は限りなく縮まります。r2GM/c2の内側領域に事象の影響はありますが 2GM/c2 < r の外側領域には事象の影響(すなわち因果律の影響)がおよびません。

 

そのため、球面 r = 2GM/c2 は「事象の地平面(Event horizon)」とよばれています。これはイベントホライズンテレスコープの名前の由来になってますね。

 

天体が自身の重力で圧縮されて、質量のすべてが事象の地平面の内側領域に集中して収まってしまえば、それがいわゆる「ブラックホール」になるわけです。

 

この話の続きはまた次回の「数理科学の小道」で。。。